在线向量平衡与几何偏差

我们考虑一个在线向量平衡问题：从 $[-1,1]^n$ 上的任意分布中选取的 $T$ 个向量逐个到达，必须立即赋予其 $\pm$ 号。目标是使偏差尽可能小。一个具体例子是在线区间偏差问题，其中 $T$ 个点在 $[0,1]$ 中均匀采样，目标是立即将其着色为 $\pm$，使得每个子区间近乎平衡。随机着色会产生 $\Omega(T^{1/2})$ 的偏差，而离线边界对于向量平衡为 $\Theta(\sqrt{n \log (T/n)})$、对于区间平衡为 $1$，一个自然的问题是能否（近似）在这些问题的在线设定中匹配离线边界。必须利用随机性，因为在最坏情况下已知任何在线算法的偏差均为 $\Omega(T^{1/2})$。Bansal 和 Spencer 最近证明了当各坐标独立时存在 $O(\sqrt{n}\log T)$ 的边界。当坐标间存在依赖时，问题变得更具挑战性，正如 Jiang、Kulkarni 和 Singla 近期工作所给出的在线区间偏差的非平凡 $O(T^{1/\log\log T})$ 边界所表明。尽管这优于随机着色，但仍远未达到离线边界。在本工作中，我们针对输入分布在坐标间存在依赖的在线向量平衡引入了一个新框架。这使我们获得了任意输入分布下在线向量平衡的 $poly(n, \log T)$ 边界，以及在线区间偏差的 $poly(\log T)$ 边界。我们的框架足以涵盖其他被广泛研究的几何偏差问题；例如，在线 $d$ 维 Tusn\'ady 问题的 $poly(\log^d (T))$ 边界。一个关键的新技术要素是两两不相关随机变量之和的反集中（anti-concentration）不等式。