随机到达的在线差异最小化
数据结构与算法
2020-07-22 v1 计算几何
离散数学
组合数学
摘要
在随机在线向量平衡问题中，从 ℝⁿ 中任意分布独立选取的向量 v₁,v₂,…,v_T 逐一到达，必须立即赋予 ± 号。目标是使差异向量（即带符号前缀和）的范数对于给定的目标范数尽可能小。我们在上述在线随机设定下考虑差异理论中一些最为著名的问题，并给出在 polylog(nT) 因子范围内匹配已知离线界的算法。这大幅推广并改进了 Bansal、Jiang、Singla 和 Sinha（STOC' 20）的先前结果。特别地，对于 Komlós 问题（其中每个 t 满足 ‖v_t‖₂≤1），我们的算法以高概率达到 Õ(1) 差异，改进了先前的 Õ(n^{3/2}) 界。对于 Tusnády 最小化轴对齐盒子差异的问题，我们对点上的任意分布获得 O(log^{d+4} T) 界。先前技术仅适用于乘积分布并给出较弱的 O(log^{2d+1} T) 界。我们还考虑 Banaszczyk 设定，其中给定高斯测度至少 1/2 的对称凸体 K，对于具有次指数尾的输入分布，我们的算法关于由 K 给出的范数达到 Õ(1) 差异。我们的关键思想是引入一个势函数，同时强制对差异向量演化方式的约束，使我们能保持某些反集中性质。对于 Banaszczyk 设定，我们通过将其与泛型链思想结合进一步增强该势函数。最后，我们也将这些结果扩展到在线多色差异设定。
引用
@article{arxiv.2007.10622,
title = {Online Discrepancy Minimization for Stochastic Arrivals},
author = {Nikhil Bansal and Haotian Jiang and Raghu Meka and Sahil Singla and Makrand Sinha},
journal= {arXiv preprint arXiv:2007.10622},
year = {2020}
}