在线随机向量平衡的均场极限

我们研究了一个在线向量平衡问题，其中 $n$ 个独立的高斯随机向量 $\boldsymbol{\zeta}(1),\dots,\boldsymbol{\zeta}(n) \sim \mathcal{N}(0, I_n)$，每个维度为 $n$，依次到达。目标是选择符号 $\varepsilon(1),\dots,\varepsilon(n) \in \{\pm 1\}$，其中 $\varepsilon(k)$ 仅依赖于 $\boldsymbol{\zeta}(1),\dots,\boldsymbol{\zeta}(k)$，以最小化带符号和 $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k = 1}^n \varepsilon(k) \boldsymbol{\zeta}(k)$ 的期望 $\ell^{\infty}$ 范数。先前的工作通过构造特定算法表明，最优值 $V^n$ 是 $O(1)$，至少对于 Rademacher $\boldsymbol{\zeta}(k)$ 而言是如此。我们的主要贡献是确定精确极限 $V^{\infty} = \lim_{n\to\infty} V^n$ 为均场型非标准随机控制问题的值：即在漂移项满足一致时间 $L^2$ 约束下，寻找 Brown 运动可被自适应引导至的最窄终止区间。下界 $V^{\infty} \leq \liminf_{n \to \infty} V^n$ 的证明使用了概率紧致性论证，且非常灵活。事实上，我们证明该下界是普适的，只要 $\boldsymbol{\zeta}(k)$ 向量的各项是独立同分布的，均值为零，方差为 1，且具有有限四阶矩，该下界即成立。上界 $\limsup_{n \to \infty} V^n \leq V^{\infty}$ 的证明更为精细，依赖于动态规划原理以及通过涉及 Föllmer 漂移的耦合过程获得的先验界，这显式利用了高斯结构。除了主要收敛结果外，我们还对极限均场控制问题提供了一些分析和渐近性态研究。