最优在线差异最小化

我们证明存在一种在线算法，对于任意依次到达的向量序列 $v_1,\ldots,v_T \in \mathbb{R}^n$（满足 $\|v_i\|_2 \leq 1$），可决定随机符号 $x_1,\ldots,x_T \in \{ -1,1\}$，使得对每个 $t \le T$，前缀和 $\sum_{i=1}^t x_iv_i$ 是 $10$-次高斯的（10-subgaussian）。这改进了 Alweiss、Liu 和 Sawhney 的工作，他们保持前缀和为 $O(\sqrt{\log (nT)})$-次高斯，并给出差异 $\max_{t \in T} \|\sum_{i=1}^t x_i v_i\|_\infty$ 的 $O(\sqrt{\log T})$ 界。我们的证明将 Banaszczyk 前缀平衡结果对树的推广与克隆论证相结合，以寻找分布而非单一着色。我们还展示了针对不知情对手（oblivious adversary）的匹配 $\Omega(\sqrt{\log T})$ 策略。