稀疏 i.i.d. 向量的在线平衡阈值

考虑在随机到达 $(X_i)_{i \in [T]}$ 的情况下进行的"在线"向量平衡任务，其中时间范围满足 $T = \Theta(n)$，且 $X_i$ 为 i.i.d. 均匀 $d$--稀疏 $n$--维二进制向量，满足 $2\leq d \le (\log\log n)^2/\log\log\log n$。我们表明，对于这一参数范围，每个在线算法的偏差至少为 $\Omega(\log \log n)$，且存在一种高效算法可实现匹配的偏差界 $O(\log\log n)$ w.h.p. 这在平均情况下的在线与离线 Beck--Fiala 问题之间建立了渐近差距。令人惊讶的是，所考虑setting 下的最优在线偏差的阶数为 $\log \log n$，与 $d$ 和向量 $(X_i)_i$ 的范数无关。我们的关于 $d$ 的假设接近最优，因为当 $d=\omega((\log\log n)^2)$ 时，这种独立性会消失。