在线图平衡与两选择的力量

在经典的在线图平衡问题中，边按顺序到达并必须立即定向，以最小化最大入度。在对抗性到达情况下，自然的贪心算法具有$O(\log n)$的竞争性，且该界限是任何算法（即使包含随机化）的上界。我们研究了i.i.d.模型，其中已知基本图 $G$，且每次到达的边是 $G$ 的独立均匀随机边。该模型概括了标准的两选择设置，对应于 $G = K_n$，此时贪心算法可获得$O(\log\!\log n)$的保证。我们询问是否存在类似界限适用于任意基本图。尽管贪心算法对对抗性到达和i.i.d.到达（从规则基本图如 $G = K_n$）均为最优，但我们展示了存在轻度不规则图 $G$，在i.i.d.到达下贪心算法具有$\widetilde{\Omega}(\log n)$的竞争性。与此形成鲜明对比，我们的主要结果是针对每个基本图 $G$的$O(\log\!\log n)$竞争性在线算法；这在常数因子上是最优的，因为即使对于完全图 $G = K_n$，已存在$\Omega(\log\!\log n)$下界。关键新思想是图的对数偏斜（log-skewness）概念，这捕获了导致离线最优解偏大的不规则子结构。此外，我们表明任何基本图都可在对数偏斜的 $O(\log\!\log n)$ 个尺度上分解为“偏斜双正则”块，并利用此设计一种基于分解的贪心变体，该变体具有$O(\log\!\log n)$的竞争性。