随机到达的在线几何差异及其在嫉妒最小化中的应用

考虑单位区间 $[0,1]$，其中 $n$ 个点逐个独立且均匀随机到达。当点到达时，问题要求立即且不可撤销地将其着为 $\{+1,-1\}$ 色，同时确保每个区间 $[a,b] \subseteq [0,1]$ 近乎平衡。我们将\emph{差异(discrepancy)}定义为整个过程中任意区间的最大不平衡量。如果所有到达的点事先已知，我们可以交替着色它们以达到差异 $1$。当我们在线着色这些点时，最小可能的期望差异是多少？我们证明上述问题的差异关于 $n$ 是亚多项式的，且任何算法都无法达到常数差异。这相对于仅获得 $\widetilde{O}(\sqrt n)$ 差异的平凡随机着色是一个实质性改进。然后我们对这一问题到二维的自然推广获得了类似结果，其中点均匀随机到达于单位正方形中。这一推广使我们改进了 Benade 等人\cite{BenadeKPP-EC18} 关于到达为随机时的在线嫉妒最小化问题的近期结果。