相似假设空间的 VC 维

给定一个集合 $X$ 和一个函数 $h:X\longrightarrow\{0,1\}$，该函数将 $X$ 的每个元素标记为 $0$ 或 $1$，我们可以定义一个函数 $h^{(s)}$ 以根据 $h$ 度量 $X$ 中点对之间的相似性。具体地，对于 $h\in \{0,1\}^X$，我们通过 $h^{(s)}(w,x):= \mathbb{1}[h(w) = h(x)]$ 定义 $h^{(s)}\in \{0,1\}^{X\times X}$。这一思想可扩展到一个函数集，或假设空间 $\mathcal{H} \subseteq \{0,1\}^X$，通过定义相似假设空间 $\mathcal{H}^{(s)}:=\{h^{(s)}:h\in\mathcal{H}\}$。我们证明了 ${{vc-dimension}}(\mathcal{H}^{(s)}) \in \Theta({{vc-dimension}}(\mathcal{H}))$。