度量测度空间上的加权 Sobolev 空间

我们研究了度量测度空间 $(X,d,m)$ 上的加权 Sobolev 空间。记 $\rho$ 为权函数，我们将空间 $W^{1,p}(X,d,\rho m)$（它总是与 Lipschitz 函数的闭包 $H^{1,p}(X,d,\rho m)$ 重合）与按照加权 Sobolev 空间的欧几里得理论定义的加权 Sobolev 空间 $W^{1,p}_\rho(X,d,m)$ 和 $H^{1,p}_\rho(X,d,m)$ 进行比较。在关于度量测度结构和权函数的温和假设下，我们证明了 $W^{1,p}(X,d,\rho m)=H^{1,p}_\rho(X,d, m)$。我们还使 Muckenhoupt 的结果和 Zhikov 近期的工作适应了度量测度环境，考虑了关于 $\rho$ 的适当条件以确保等式 $W^{1,p}_\rho(X,d,m)=H^{1,p}_\rho(X,d,m)$ 成立。