扩展度量-测度空间中的Sobolev空间

这些讲义包含2017年C.I.M.E.暑期课程所呈现材料的扩展版本，旨在给出度量Sobolev理论的详细介绍。讲义分为四个主要部分。第一部分致力于一般扩展度量-拓扑测度空间$\mathbb X=(X,\tau,\mathsf d,\mathfrak m)$的底层拓扑、度量和测度论方面的初步研究。第二部分致力于Cheeger能量的构造，最初定义在一类特殊的Lipschitz函数酉代数上。第三部分处理Sobolev空间对偶刻画所需的基本工具：一类（非参数）可求长弧集合的$p$-模量概念及其与一类非参数动态规划的对偶性，即关于$\mathfrak m$具有有限$q$-重心熵的可求长弧空间上的Radon测度。讲义的最后部分致力于Sobolev空间$W^{1,p}(\mathbb X)$基于非参数动态规划的対偶/弱表述，及其与Newtonian空间$N^{1,p}(\mathbb X)$和由Cheeger构造得到的空间$H^{1,p}(\mathbb X)$的关系。特别地，当$(X,\mathsf d)$完备时，通过直接对偶论证给出了这些途径等价性的新证明。这些讲义的实质性部分依赖于既有的成熟理论。新的贡献涉及扩展度量背景、一般相容Lipschitz函数代数的作用及其关于Sobolev能量的稠密性、紧化技巧、从底层空间继承的自反性与无穷小Hilbert性，以及使用非参数动态规划定义弱上梯度。