关于度量测度空间的微分结构及其应用
度量几何
2013-05-22 v2 微分几何
摘要
本文的主要目标是：i) 通过研究Sobolev函数的微分与梯度之间的对偶关系，在度量测度空间上发展抽象的微分学。这将在不涉及任何图分析的情况下实现，我们的假设是：度量空间是完备且可分的，测度是Borel、非负且局部有限的。ii) 利用这些微积分概念，通过分部积分提供分布拉普拉斯算子的一般定义，从而赋予诸如Δg=μ（其中g是函数，μ是测度）这样的表达式以意义。iii) 证明在Ricci曲率有下界且维数有上界的空间上，距离函数的拉普拉斯算子总是一个测度，并且该测度具有标准的尖锐比较性质。这一结果需要对空间附加一个假设，该假设在光滑Finsler结构的情况下归结为范数的严格凸性，并且在具有线性拉普拉斯算子的空间上总是满足，这种情况将详细分析。
引用
@article{arxiv.1205.6622,
title = {On the differential structure of metric measure spaces and applications},
author = {Nicola Gigli},
journal= {arXiv preprint arXiv:1205.6622},
year = {2013}
}
备注
Clarified the dependence on the Sobolev exponent $p$ of various objects built in the paper. Updated bibliography. Corrected typos