广义度量测度空间上的导子与 Sobolev 函数

我们研究广义度量拓扑测度空间上的一阶微分演算。后者是四元组 $\mathbb X=(X,\tau,{\sf d},\mathfrak m)$，由广义度量空间 $(X,{\sf d})$ 连同一个较弱的拓扑 $\tau$（满足适当的相容性条件）以及 $(X,\tau)$ 上的有限 Radon 测度 $\mathfrak m$ 给出。广义度量拓扑测度空间类涵盖了所有度量测度空间以及许多无限维的度量测度结构，例如抽象 Wiener 空间。在此框架下，我们研究以下几类对象：- $X$ 上有界 $\tau$-连续 ${\sf d}$-Lipschitz 函数构成的 Banach 代数 ${\rm Lip}_b(X,\tau,{\sf d})$。- $X$ 上的几种 Lipschitz 导子概念，其通过与 ${\rm Lip}_b(X,\tau,{\sf d})$ 的对偶性定义。- 度量 Sobolev 空间 $W^{1,p}(\mathbb X)$，其通过与 $X$ 上 Lipschitz 导子的对偶性定义。此外，我们将 Weaver 与 Di Marino 的 Lipschitz 导子理论推广至广义设定，并讨论了它们之间的联系。我们还沿着 Di Marino 的 Sobolev 空间概念的思路，通过分部积分公式引入了 Sobolev 空间 $W^{1,p}(\mathbb X)$，并证明了它与 Ambrosio、Erbar 和 Savar\'{e} 在广义设定下研究的其他方法的等价性。在此过程中，我们获得了一些具有独立意义的结果，其中包括：- 关于 $\tau$-连续 ${\sf d}$-Lipschitz 函数的保持 Lipschitz 常数的延拓结果。- 一种新颖且相当稳健的策略，用于证明通过分部积分公式定义的 Sobolev 型空间与通过松弛过程获得的空间之间的等价性。- 对度量 Sobolev 空间 $W^{1,p}(\mathbb X)$ 的等距前对偶的新刻画。