有界变差函数与度量测度空间中的 Lipschitz 代数

给定定义在度量测度空间 $(X, d, \mathfrak{m})$ 上的局部 Lipschitz 函数代数 $\mathscr{A}$，我们研究两种与之相关的函数有界变差概念及其关系：通过能量近似得到的空间 ${\mathrm{BV}}_{\mathrm{H}}(X;\mathscr{A})$，以及通过涉及作用于 $\mathscr{A}$ 于对偶中的导数项的积分配位公式定义的空间 ${\mathrm{BV}}_{\mathrm{W}}(X;\mathscr{A})$。我们的主要结果给出代数 $\mathscr{A}$ 的充分条件，使得 ${\mathrm{BV}}_{\mathrm{H}}(X;\mathscr{A})$ 与标准度量 BV 空间 ${\mathrm{BV}}_{\mathrm{H}}(X)$ 一致，而后者对应于取 $\mathscr{A}$ 为所有局部 Lipschitz 函数的集合。我们的结果适用于若干感兴趣的情形，例如欧几里得空间和黎曼流形上由光滑函数代数构成的情形，或 Banach 空间和 Wasserstein 空间上由柱函数代数构成的情形。类似的关于指数 $p\in(1,\infty)$ 的度量 Sobolev 空间 ${\mathrm{H}}^{1,p}$ 的结果先前已由多个作者获得。