有界分数阶变分函数与分形流

推广有界变分的概念，函数 $u \in L_c^1(\mathbb R^n)$ 若对某个指数 $\alpha$ 为有界分数阶变分，则存在有限常数 $C \geq 0$，使得估计式 $$\biggl|\int u(x) \det D(f,g_1,\dots,g_{n-1})_x \, dx\biggr| \leq C\operatorname{Lip}^\alpha(f) \operatorname{Lip}(g_1) \cdots \operatorname{Lip}(g_{n-1})$$ 对所有 $\mathbb R^n$ 上的 Lipschitz 函数 $f,g_1,\dots,g_{n-1}$ 成立。此类函数包括具有分形边界的区域的特征函数与 Hölder 连续函数。我们将有界分数阶变分函数刻画为 Whitney 平坦链的某个子空间，以及 Ambrosio-Kirchheim 流背景下的多重线性泛函。据此我们讨论了到 Hölder 微分形式、更高可积性、等周不等式、Lusin 型性质与变量替换的推广。作为一个应用，我们获得了关于定义在具有分形边界的区域上的 Hölder 映射的 Brouwer 度函数的尖锐可积性结果。