一阶与二阶线性算子的 Lebesgue-Lusin 性质

我们证明，对于阶数 $k \le 2$ 的齐次线性偏微分算子 $\mathcal A$ 以及取该算子本质值域中值的 integrable 映射 $f$，存在一个特殊有界变差函数 $u$ 满足 $$\mathcal A u(x)= f(x) \qquad \text{几乎处处}.$$ 这推广了 G. Alberti 关于 $\mathbf R^N$ 上梯度的结果。特别地，对于 $0 \le m < N$，我们证明了每个 integrable 的 $m$-向量场都是某个正规 $(m+1)$-电流的绝对连续部分边界。