关于无界算子及其应用

假设 $Au=f,\quad (1)$ 是 Hilbert 空间 $H$ 中可解的线性方程，$A$ 是 $H$ 中线性、闭、稠定、无界算子，且不是有界可逆的，因此问题 (1) 是适定性不良的。证明了算子 $(A^*A+\a I)^{-1}A^*$ 在定义域 $D(A^*)$ 上的闭包（其中 $\a>0$ 为常数）是一个处处有定义的线性有界算子，其范数 $\leq 1$。该结果被应用于变分问题 $F(u):= ||Au-f||^2+\a ||u||^2=min$，其中 $f$ 是 $H$ 的任意元，不一定属于 $A$ 的值域。构造了问题 (1) 的变分正则化，并证明了一个偏差原理。