关于不适定问题的两个结果

设 $A=A^*$ 为 Hilbert 空间 $H$ 中的线性算子。假设方程 $Au=f \quad (1)$ 可解（不一定唯一），且 $y$ 为其极小范数解。假设问题 (1) 是不适定的。设已知带噪数据 $f_\d$，$||f-f_d||\leq \d$，而 $f$ 未知。问题 (1) 的变分正则化导出方程 $A^*Au+\a u=A^*f_\d$。求解该方程的计算量远比求解方程 $(A+ia)u=f_\d \quad (2)$ 高。第一个结果是一个定理：若 $a=a(\d)$，$\lim_{\d \to 0}a(\d)=0$ 且 $\lim_{\d \to 0}\frac \d {a(\d)}=0$，则方程 (2) 在 $a=a(\d)$ 时的唯一解 $u_\d$ 满足 $\lim_{\d \to 0}||u_\d-y||=0$。第二个结果是用于稳定计算误差元素上无界算子值的迭代方法。