关于 d 维单位立方体上混合微分的病态程度的一点注记

文献中广泛讨论了在区间 $[0,1] \subset \mathbb{R}$ 上通过反演定义为 $[Jx](s):=\int_0^s x(t) dt$ 的简单积分算子 $J:L^2([0,1]) \to L^2([0,1])$ 来对被噪声污染的函数进行数值微分。紧算子 $J$ 的完整奇异系统被显式给出，其奇异值 $\sigma_n(J)$ 渐近正比于 $1/n$，这表明该反问题的病态程度为 {\sl 一}。我们回顾希尔伯特空间中具有紧前向算子的线性算子方程病态程度的概念。与一维情形下的算子 $J$ 相比，关于 d 维情形分析的材料很少，其中需要反演定义在单位 $d$ 立方体上的紧积分算子 $J_d:L^2([0,1]^d) \to L^2([0,1]^d)$，即 $[J_d\,x](s_1,\ldots,s_d):=\int_0^{s_1}\ldots\int_0^{s_d} x(t_1,\ldots,t_d)\, dt_d\ldots dt_1$。这一混合微分反问题 $x(s_1,\ldots,s_d)=\frac{\partial^d}{\partial s_1 \ldots \partial s_d} y(s_1,\ldots ,s_d)$ 具有实际意义，例如当在统计学中需要根据 $[0,1]^d \subset \mathbb{R}^d$ 上的经验 copula 验证 copula 密度时。在本注记中，我们证明算子 $J_d$ 的非增序奇异值 $\sigma_n(J_d)$ 具有形如 $\frac{(\log n)^{d-1}}{n}$ 的渐近式，这表明即使出现了额外的对数因子，病态程度仍为一。更多讨论涉及刻画算子 $J_2$ 的值域 $\mathcal{R}(J_2)$ 的特例 $d=2$。