关于动力系统方法的偏差原则

假设 $$Au=f,\quad (1)$$ 是 Hilbert 空间中的可解线性方程，$||A||<\infty$，且 $R(A)$ 不闭，因此问题 (1) 是适定性不良的。此处 $R(A)$ 是线性算子 $A$ 的值域。求解 (1) 的 DSM（动力系统方法）由求解如下 Cauchy 问题组成： $$\dot u= -u +(B+\ep(t))^{-1}A^*f, \quad u(0)=u_0, \quad (2)$$ 其中 $B:=A^*A$，$\dot u:=\frac {du}{dt}$，$u_0$ 任意，且 $\ep(t)>0$ 是连续可微函数，随 $t\to \infty$ 单调衰减至零。A.G.Ramm 已证明，对任意 $u_0$，问题 (2) 对所有 $t>0$ 有唯一解，存在 $y:=w(\infty):=\lim_{t\to \infty}u(t)$，$Ay=f$，且 $y$ 是 (1) 的唯一极小范数解。若给定 $f_\d$ 满足 $||f-f_\d||\leq \d$，则定义 $u_\d(t)$ 为将 (2) 中 $f$ 替换为 $f_\d$ 所得问题的解。停止时刻定义为满足 $\lim_{\d \to 0}||u_\d (t_\d)-y||=0$ 且 $\lim_{\d \to 0}t_\d=\infty$ 的数 $t_\d$。本文提出并证明了一种偏差原则。该原则将 $t_\d$ 给出为方程 $$||A(B+\ep(t))^{-1}A^*f_\d -f_\d||=\d, \quad (3)$$ 的唯一解，其中假设 $||f_\d||>\d$ 且 $f_\d\perp N(A^*)$。对非线性单调 $A$，给出并论证了一种偏差原则。