求解无界算子的动力系统方法(DSM)

设 $L$ 为实 Hilbert 空间 $H$ 中的无界线性算子,是 $C_0$ 半群的生成元,$g:H\to H$ 为 $C^2_{loc}$ 非线性映射。求解方程 $F(v):=Lv+gv=0$ 的 DSM(动力系统方法)在于求解 Cauchy 问题 $\dot {u}=\Phi(t,u)$、$u(0)=u_0$,其中 $\Phi$ 为合适的算子,并证明:i) $\exists u(t) \quad \forall t>0$;ii) $\exists u(\infty)$;iii) $F(u(\infty))=0$。