DSM 的差异原则

设 $Ay=f$，$A$ 为 Hilbert 空间 $H$ 中的线性算子，$y\perp N(A):=\{u:Au=0\}$，$R(A):=\{h:h=Au,u\in D(A)\}$ 不闭，$\|f_\delta-f\|\leq\delta$。给定 $f_\delta$，希望构造 $u_\delta$ 使得 $\lim_{\delta\to 0}\|u_\delta-y\|=0$。求解 $u_\delta$ 的 DSM（动力系统方法）的一个版本由求解问题 \bee \dotu_\delta(t)=-u_\delta(t)+T^{-1}_{a(t)} A^\ast f_\delta, \quad u(0)=u_0, \eqno{(\ast)}\eee 组成，其中 $T:=A^\ast A$，$T_a:=T+aI$，且 $a=a(t)>0$，$a(t)\searrow 0$ 当 $t\to\infty$ 时适当选取。证明了 $u_\delta:=u_\delta(t_\delta)$ 具有性质 $\lim_{\delta\to 0}\|u_\delta-y\|=0$。此处停止时间 $t_\delta$ 由差异原则定义： \bee \eqno{(\ast\ast)}\eee $c\in(1,2)$ 为常数。方程 $(\ast)$ 唯一确定 $t_\delta$ 且 $\lim_{\delta\to 0}t_\delta=\infty$。本文还证明了差异原则的另一个版本。