具有有界 $\mathscr A$-变分函数若干精细性质的一瞥

我们为经典 $BV$ 情形中已知的有界 $\mathscr A$-变分函数建立了某些精细性质。此处，$\mathscr A$ 是一个 $k$ 阶常系数齐次线性微分算子，具有有限维核（亦称复椭圆算子）。我们证明，若 $\mathscr Au$ 可由有限 Radon 测度表示，则势 $u$ 在 Lipschitz 超曲面以及更一般地余维数为一的 countable rectifiable 集上具有单侧 $L^p$ 近似极限。我们利用此结果给出（泛函）内部与外部迹的点态刻画。我们还建立了一个依赖于尺度的定量连续性结果，由此可证明 Lebesgue 间断集具有零 $(n-1)$ 维 Riesz 容量。最后，我们引入一种分解，将分析 $k$ 阶算子的复杂性降为首次阶方法，并使我们能够建立 $BV^{\mathscr A}$ 映射的 $k$ 阶 $L^p$ 可微性。