有界变形函数的精细性质——一种基于线性偏微分方程的方法

在本综述中，我们收集了作者及其合作者近期获得的关于有界变形（BD）函数精细结构的一些结果。这些映射是 $\mathrm{L}^1$ 函数，其分布导数的对称部分可表示为有界（矩阵值）Radon 测度。长期以来已知，对于（矩阵值）Radon 测度，成为对称化梯度的性质可由一个欠定二阶偏微分方程组——Saint-Venant 相容条件来刻画。这一观察引出了一种通过测度偏微分方程理论来研究 BD 映射精细性质的新方法，它补充并部分替代了经典论证。从基本观察出发，我们在此阐明这一近期进展背后的椭圆性论证，并给出当前研究现状的概览。我们还提出了一些开放问题。