关于Barron空间中椭圆型偏微分方程解的表示
数值分析
2021-11-09 v2 机器学习
数值分析
偏微分方程分析
摘要
基于神经网络的高维偏微分方程（PDEs）数值解取得了令人振奋的进展。本文推导了d维二阶椭圆型PDE在Barron空间中的解复杂度估计，Barron空间是一组函数，其容许对参数上的概率测度积分某种参数化脊函数。我们在一些适当假设下证明：若椭圆型PDE的系数和源项位于Barron空间中，则该PDE的解在H^1范数下与某个Barron函数ε-接近。此外，我们证明了该近似解的Barron范数的维度显式界，其至多随PDE维度d多项式增长。作为复杂度估计的直接推论，该PDE的解可在任意有界域上由两层神经网络在H^1范数下以维度显式收敛速率逼近。
引用
@article{arxiv.2106.07539,
title = {On the Representation of Solutions to Elliptic PDEs in Barron Spaces},
author = {Ziang Chen and Jianfeng Lu and Yulong Lu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2106.07539},
year = {2021}
}
备注
accepted by NeurIPS 2021