求解高维椭圆方程的深度Ritz方法的先验泛化分析
数值分析
2021-03-23 v2 机器学习
数值分析
偏微分方程分析
统计理论
机器学习
统计理论
摘要
本文关注深度Ritz方法(DRM)[W. E and B. Yu, 2017]的先验泛化分析，这是一种流行的基于神经网络求解高维偏微分方程的方法。我们在DRM框架下推导了两层神经网络在求解两个原型椭圆偏微分方程——维单位超立方体上的Poisson方程和静态Schrödinger方程——时的泛化误差界。具体而言，在精确解位于称为谱Barron空间的合适低复杂度空间这一先验假设下，我们证明了泛化误差的收敛速率与维度 无关。此外，我们给出了迫使项和势函数的充分条件，以保证解为谱Barron函数。为此，我们发展了谱Barron空间上偏微分方程的新解理论，可视为经典Sobolev正则性理论的类比。
引用
@article{arxiv.2101.01708,
title = {A Priori Generalization Analysis of the Deep Ritz Method for Solving High Dimensional Elliptic Equations},
author = {Jianfeng Lu and Yulong Lu and Min Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2101.01708},
year = {2021}
}
备注
Revised the definition of Barron space and updated the proofs induced by the changes