带物理约束的神经偏微分方程求解器：PINNs、DRM和WAN的比较研究

偏微分方程是科学和工程中模型的基础，然而解析解并不常见，经典网格求解器在高维情况下可能成本高昂。本论文对三种无网格神经偏微分方程求解器——物理信息神经网络、深度里兹方法和弱对抗网络——在泊松问题（最高5维）和1D/2D时不变薛定谔方程（无限深势阱和谐振子）上进行了统一比较，并通过Kramers-Henneberger变换将研究扩展到薛定谔方程的激光驱动情形。在通用协议下，所有方法在配合强制边界条件、强制节点和正交正则化时均实现了低$L_2$误差（$10^{-6}$-$10^{-9}$）。在各任务中，PINNs在准确性和激发谱恢复方面最为可靠；DRM在稳态问题上提供了最佳的精度-运行时间权衡；WAN更敏感，但在有效使用弱形式约束和强制节点/正交正则化时具有竞争力。敏感性分析表明，强制边界条件消除了边界损失调优，对于单网络求解器，网络宽度比深度更重要，且大部分增益出现在5000-10000个训练周期内。相同的工具包解决了Kramers-Henneberger情形，表明可迁移到规范基准之外。我们提供了方法选择的实用指南，并概述了以下扩展：DRM和WAN的时变公式、自适应残差驱动采样、并行多态训练和神经域分解。这些结果支持物理引导的神经求解器作为解决复杂偏微分方程的可信、可扩展工具。