椭圆型偏微分方程的机器学习：快速率泛化界、神经缩放律与极小极大最优性
数值分析
2021-11-16 v2 机器学习
数值分析
统计理论
计算物理
机器学习
统计理论
摘要
本文研究利用深度里兹方法（DRM）与物理信息神经网络（PINNs），从随机样本求解椭圆型偏微分方程（PDEs）的深度学习技术的统计极限。为简化问题，我们聚焦于一个原型椭圆型 PDE：具有零狄利克雷边界条件的超立方体上的薛定谔方程，其在量子力学系统中应用广泛。我们为两种方法建立了上界与下界，并通过快速率泛化界改进了同期发展的该问题上界。我们发现当前的深度里兹方法非最优，并提出了其改进版本。我们还证明了 PINN 与改进版 DRM 能在 Sobolev 空间上达到极小极大最优界。在实验上，继近期已展示深度模型精度随训练集增大按幂律提升的工作，我们提供计算实验以展示深度 PDE 求解器类似的维度相关幂律行为。
引用
@article{arxiv.2110.06897,
title = {Machine Learning For Elliptic PDEs: Fast Rate Generalization Bound, Neural Scaling Law and Minimax Optimality},
author = {Yiping Lu and Haoxuan Chen and Jianfeng Lu and Lexing Ying and Jose Blanchet},
journal= {arXiv preprint arXiv:2110.06897},
year = {2021}
}
备注
add a proof Proof Sketch in section 4.1