物理信息神经网络求解线性二阶椭圆型偏微分方程的收敛速率

近年来，物理信息神经网络（PINNs）已被实证为求解偏微分方程的有力工具。然而，针对 PINNs 的数值分析仍然缺失。本文通过确立训练样本数、深度神经网络深度与宽度在达到期望精度时的上界，证明了 PINNs 对带 Dirichlet 边界条件的二阶椭圆方程的收敛速率。PINNs 的误差被分解为逼近误差与统计误差，其中逼近误差以 $C^2$ 范数给出，采用 $\mathrm{ReLU}^{3}$ 网络（激活函数为 $\max\{0,x^3\}$ 的深度网络），统计误差由 Rademacher 复杂度估计。我们推导了梯度范度与 $\mathrm{ReLU}^{3}$ 网络非 Lipschitz 复合的 Rademacher 复杂度界，这具有重大的独立意义。