关于物理信息神经网络的收敛性
统计理论
2026-01-26 v2 统计理论
摘要
物理信息神经网络（PINNs）是一种将神经网络的能力与物理建模的可解释性相结合的有前景的方法。PINNs在求解偏微分方程（PDEs）以及物理模型增强数据驱动方法的混合建模场景中已展现出良好的实际性能。然而，为了充分理解其能力与局限，建立其理论性质至关重要。在本研究中，我们指出PINNs的经典训练可能遭受系统性过拟合。该问题可通过在经验风险中加入岭正则化来解决，从而确保所得估计量对于线性和非线性PDE系统均是风险一致的。然而，PINNs向满足物理约束的解的强收敛需要借助泛函分析与变分法中的工具进行更为深入的分析。特别地，对于线性PDE系统，一种可实现的Sobolev型正则化能够重构出不仅具有统计精度且与底层物理保持一致的解。
引用
@article{arxiv.2305.01240,
title = {On the convergence of PINNs},
author = {Nathan Doumèche and Gérard Biau and Claire Boyer},
journal= {arXiv preprint arXiv:2305.01240},
year = {2026}
}