关于物理信息神经网络求解线性二阶椭圆型和抛物型偏微分方程的收敛性
数值分析
2020-12-30 v2 机器学习
数值分析
摘要
物理信息神经网络（PINNs）是基于深度学习的技术，用于求解计算科学与工程中遇到的偏微分方程（PDEs）。在数据和物理定律的引导下，PINNs 寻找一个逼近 PDE 系统解的神经网络。该神经网络通过最小化一个损失函数获得，其中编码了 PDEs 的任何先验知识和数据。尽管 PINNs 在一维、二维或三维问题上取得了显著的实证成功，但其理论依据甚少。随着数据量的增长，PINNs 生成一系列极小化子，对应一系列神经网络。我们希望回答这个问题：极小化子序列是否收敛到 PDE 的解？我们考虑两类 PDEs：线性二阶椭圆型和抛物型。通过采用 Schauder 方法和极值原理，我们证明了极小化子序列在 范数下强收敛于 PDE 解。此外，我们证明若每个极小化子满足初始/边界条件，收敛模式变为 。提供了计算示例以说明我们的理论发现。据我们所知，这是首个证明 PINNs 一致性的理论工作。
引用
@article{arxiv.2004.01806,
title = {On the convergence of physics informed neural networks for linear second-order elliptic and parabolic type PDEs},
author = {Yeonjong Shin and Jerome Darbon and George Em Karniadakis},
journal= {arXiv preprint arXiv:2004.01806},
year = {2020}
}