高维偏微分方程的时空深度神经网络逼近

近似求解高维偏微分方程（PDEs）是应用数学中最具挑战性的问题之一，科学文献中多数 PDE 数值逼近方法都受所谓维数灾难的困扰，即相应逼近方案为获得精度 $\varepsilon>0$ 所需计算操作数在 PDE 维数和/或 $\varepsilon$ 倒数上呈指数增长。近来提出了某些基于深度学习的 PDE 逼近方法，对此类方法的多种数值模拟表明，深度神经网络（DNN）逼近可能确实有能力克服维数灾难，即用于描述逼近 DNN 的实数参数个数在 PDE 维数 $d\in\mathbb{N}$ 和给定精度倒数 $\varepsilon>0$ 上至多多项式增长。科学文献中现亦有少量严格结果通过证明 DNN 在逼近 PDE 解时克服维数灾难来证实该猜想。这些结果均确立 DNN 在固定时间点 $T>0$ 和空间紧立方体 $[a,b]^d$ 上逼近相应 PDE 解时克服维数灾难，但均未回答整个 PDE 解在 $[0,T]\times [a,b]^d$ 上能否被 DNN 无维数灾难地逼近。本文主题正是克服此问题。更具体地，本工作的主要结果尤其证明了：对任意 $a\in\mathbb{R}$、$b\in (a,\infty)$，某些 Kolmogorov PDE 的解可在时空区域 $[0,T]\times [a,b]^d$ 上被 DNN 无维数灾难地逼近。