具有有界散度的对称正矩阵场的精细性质

本文关注 [33] 中引入的泛函 $$\mathbb{D}(A) = \int_{\mathbb{T}^n}{\text{det}}^\frac{1}{n-1}(A(x))\,dx$$ 的若干精细性质。该泛函定义于 $X_p$ 上，而 $X_p$ 是矩阵场 $A \in L^p(\mathbb{T}^n;\text{Sym}^+(n))$ 且满足 $\text{div }(A)$ 为有界测度的锥。我们首先修正了在 [13, 推论 7] 中注意到的一个错误，该错误涉及 $\mathbb{D}(A)$ 在 $X_p$ 中的上半连续性。我们给出了一个精炼正确命题的证明，并将用它研究当 $A \in X_\frac{n}{n-1}$ 时 $\mathbb{D}(A)$ 的行为，而 $X_\frac{n}{n-1}$ 是 $\mathbb{D}(A)$ 的临界可积性。我们的一个主要结果给出了由此类矩阵场序列 $\{A_k\}_k$ 生成的 $\mathbb{D}(A_k)$ 测度的显式界。特别地，它使我们能用 $\{\text{div } A_k\}_k$ 的变分所生成测度来刻画 $A \in X_\frac{n}{n - 1}$ 情形下 $\mathbb{D}(A)$ 的上半连续性。我们通过显式例子表明，若 $p<\frac{n}{n-1}$，该刻画在 $X_p$ 中失效。作为我们刻画的副产品，我们还恢复并推广了 P.-L. Lions [25,26] 关于 Sobolev 嵌入研究中共 compactness 缺失的结果。此外，类比 Monge-Ampère 理论，我们给出了当 $A \in X_\frac{n}{n - 1}$ 时 $\text{det}^\frac{1}{n-1}(A)$ 为 Hardy 的充分条件，推广了 S. Müller [29] 在 $A=\text{cof } D^2\varphi$（$\varphi$ 为凸函数）时的著名结果。