通过 Caffarelli-Silvestre 扩张、容量与 Wolff 位势的函数空间嵌入

设 $P_{\alpha} f(x,t)$ 为光滑函数 $f(x): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}_+:=\mathbb{R}^n\times (0,\infty)$ 的 Caffarelli-Silvestre 扩张。本文目的有二。首先，我们欲刻画 $\mathbb{R}^{n+1}_+$ 上的非负测度 $\mu$，使得 $f(x)\rightarrow P_{\alpha} f(x,t)$ 诱导从 Lebesgue 空间 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 到 $L^q(\mathbb{R}^{n+1}_+,\mu)$ 的有界嵌入。一方面，这些嵌入将通过使用新引入的与 Caffarelli-Silvestre 扩张相关的 $L^p-$容量来刻画。在此过程中，将分别建立 $P_{\alpha} f(x,t)$ 的混合范数估计、$L^p-$容量的对偶形式、一般球的 $L^p-$容量以及容量强型不等式。另一方面，当 $p>q>1$ 时，这些嵌入也将用 $\mu$ 的 Hedberg-Wolff 位势来刻画。其次，我们刻画 $\mathbb{R}^{n+1}_+$ 上的非负测度 $\mu$，使得 $f(x)\rightarrow P_{\alpha} f(x,t)$ 诱导从齐次 Sobolev 空间 $\dot{W}^{\beta,p}(\mathbb{R}^n)$ 到 $L^q(\mathbb{R}^{n+1}_+,\mu)$ 的有界嵌入，对端点情形用开集的分数周长、对一般情形用分数容量来刻画。