非交换概率中合并 Lp 空间的理论

设 $f_1, f_2, ..., f_n$ 为概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ 中给定随机变量 f 的一族独立拷贝。则当下式成立时，每当 $1 \le q \le p < \infty$，范数等价性成立 $$\Big(\int_{\Omega} \Big[ \sum_{k=1}^n |f_k|^q \Big]^{\frac{p}{q}} d \mu \Big)^{\frac1p} \sim \max_{r \in \{p,q\}} {n^{\frac1r} \Big(\int_\Omega |f|^r d\mu \Big)^{\frac1r}}.$$ 我们证明了该不等式在给定 von Neumann 子代数上自由随机变量之和的非交换类比。这一表述导出了量子概率中作为平方函数、条件平方函数和极大函数的非交换函数空间新类。我们的主要工具是自由随机变量的 Rosenthal 型不等式、非交换鞅论和算子值解析函数的因式分解。这使得我们能将此不等式推广为算子空间范畴中非交换 L_p 的一个结果。此外，自由随机变量的使用给出了 $p=\infty$ 的正确表述，而这是没有交换对应物的。