函数调和模与无收缩嵌入 $\mathbb{R}^d$ 中的度量

平面上关于函数调和模的经典 Sard 定理的一个推广如下。设 $f$ 是定义在 $A\subset{\mathbb R}^2$ 上的函数。如果 $f$ 的调和模满足 $\omega(r)\lesssim r^2$，则 $f(A)\subset{\mathbb R}$ 的 Lebesgue 测度为零。Choquet 于 \cite{Choquet} 主张这是一个完整的表征，即对于每个 $\omega(r)/r^2$ 当 $r\to 0$ 时趋于 $\infty$ 的函数，都存在反例。我们通过证明在 $\mathbb{R}^d$ 中的正确表征为 $\int_{0}^{1} \omega(r)^{-1/d}=\infty$ 来否定这一主张。具体表述请参见第二定理。我们的结果可作为更一般结果的一个特例获得。我们研究能够在 ${\mathbb R}^d$ 中进行且不缩小任何距离的空间 $(X,\rho)$。也就是说，我们询问是否存在 $f: X\to {\mathbb R}^d$ 使得 $\|f(x)-f(y)\|\ge \rho(x,y)$ 对所有 $x,y\in X$ 成立。我们在一些非常一般的距离函数 $\rho$ 上研究此问题（我们甚至不假设它是度量空间，特别是不假设 $\rho$ 满足三角不等式），并在此类映射是否存在方面找到定量的必要且充分条件。我们将上述表征作为本文度量嵌入结果的一个特例获得，方法是选择 $X$ 为 $\mathbb{R}$ 中的一个区间，并定义 $\rho(x,y)=r$ 当且仅当 $\|x-y\|=\omega(r)$。