Sobolev嵌入蕴含度量测度空间中测度的正则性

我们证明，若在度量测度空间$(X,d,\mu)$中对某$q>p\geq 1$成立Sobolev嵌入$M^{1,p}(X)\hookrightarrow L^q(X)$，则存在常数$C$使得对所有$x\in X$及所有$0<r\leq 1$有$\mu(B(x,r))\geq Cr^n$，其中$\frac{1}{p}-\frac{1}{q}=\frac{1}{n}$。此结论在\cite{Gor17}中于测度$\mu$满足加倍条件下被证明。