涉及两类对称性的区域上的 Sobolev 嵌入

众所周知，在存在对称性的情况下 Sobolev 嵌入可以得到改进。在本文中，我们考虑如下情形：给定 $\mathbb{R}^N$ 中具有柱对称性的区域 $\Omega=\Omega_1 \times \Omega_2$，并在 $\Omega_1$ 上作用群 $G$，对此情形，我们证明了在嵌入到加权空间 $L^{q}_{h}(\Omega)$ 时临界 Sobolev 指数会增大。在本文中，我们将阐述若干与具有径向对称函数的 Sobolev 空间到某个加权空间 $L^{q}$ 的紧嵌入相关的结论，其中 $q$ 高于通常的临界指数。