关于流形上 Sobolev 空间的紧子集

定义在 $\mathbb{R}^m$ 上的 Sobolev 空间到 $L^p$ 空间的非紧嵌入是常见现象，但它存在使该嵌入变为紧的子空间。此类子空间有三个著名情形：有界区域（或无穷远处充分细的无界区域）上函数子空间的 Rellich 紧性、$\mathbb{R}^m$ 中径向对称函数子空间的 Strauss 紧性，以及加权 Sobolev 空间。已知的 Strauss 紧性推广包括具有块径向对称的函数子空间、黎曼流形上具有某些对称性的函数子空间，以及更一般的 Besov 和 Triebel-Lizorkin 空间的类似子空间。对称性的存在可依据对应于商空间更小有效维数的临界 Sobolev 指数的上升来解释。