由 Sobolev-Poincaré 不等式生成的 Lipschitz 空间与 Sobolev 函数的扩张

设 $d$ 为 $R^n$ 上的度量，$C^{m,(d)}(R^n)$ 为 $R^n$ 上 $m$ �阶偏导数属于空间 $Lip(R^n;d)$ 的 $C^m$ 函数空间。我们证明，齐次 Sobolev 空间 $L^{m+1}_p(R^n), p>n$ 可以表示为 $C^{m,(d)}(R^n)$ 空间的并集，其中 $d$ 属于 $R^n$ 上具有某些“良好”性质的度量族。这使我们能够在若干重要情形下，给出 Sobolev 空间限制在 $R^n$ 任意闭子集上的内蕴刻画。特别地，当 $m\ge 1$ 且 $p>n$ 时，我们将空间 $C^m(R^n)$ 的经典 Whitney 扩张定理推广至 Sobolev 空间 $L^m_p(R^n)$ 的情形。