Lipschitz 映射到度量空间的 Sobolev 延拓

Wenger 和 Young 证明了当 $m \leq n$ 时，对 $(\mathbb{R}^m,\mathbb{H}^n)$ 具有 Lipschitz 延拓性质，其中 $\mathbb{H}^n$ 是次黎曼 Heisenberg 群。即对于某个 $C>0$，任何从 $\mathbb{R}^m$ 的子集到 $\mathbb{H}^n$ 的 $L$-Lipschitz 映射都可以延拓为 $\mathbb{R}^m$ 上的 $CL$-Lipschitz 映射。在本文中，我们在不对维度 $m$ 施加限制的情况下，构造了此类 Lipschitz 映射的 Sobolev 延拓。我们证明了任何从 $\mathbb{R}^m$ 的紧子集到 $\mathbb{H}^n$ 的 Lipschitz 映射都可以延拓为包含该集合的任何有界域上的 Sobolev 映射。更一般地，我们在映射到任意 Lipschitz $(n-1)$-连通度量空间的情形下证明了这一结果。