Lipschitz 映射与单调映射延拓的连续性

设 $X$ 为 Hilbert 空间的一个子集。我们证明，如果 $v\colon X\to \mathbb{R}^m$ 满足对于所有 $x,x_1,\dotsc,x_m\in\mathbb{R}^m$ 以及所有和为一的非负 $t_1,\dotsc,t_m$，有 \begin{equation*} \Big\lVert v(x)-\sum_{i=1}^m t_iv(x_i)\Big\rVert\leq \Big\lVert x-\sum_{i=1}^m t_ix_i\Big\rVert \end{equation*}，那么对于任意 $1$-Lipschitz 映射 $u\colon A\to\mathbb{R}^m$（其中 $A\subset X$），存在 $u$ 的一个 $1$-Lipschitz 延拓 $\tilde{u}\colon X\to\mathbb{R}^m$，使得 $X$ 上 $\tilde{u}$ 与 $v$ 的一致距离等于 $A$ 上 $u$ 与 $v$ 的一致距离。此外，如果 $m\in \{1,2,3\}$ 或者 $X$ 是凸的，我们证明了其逆命题：我们表明，如果映射 $v\colon X\to\mathbb{R}^m$ 允许 $X$ 子集上的任意 $1$-Lipschitz 映射进行保持一致距离的 $1$-Lipschitz 延拓，则 $v$ 也满足上述不等式组。我们还证明了关于单调映射延拓的类似连续性结果。我们的结果对于取值于无穷维空间的映射同样成立。