欧氏空间中奇异测度的覆盖定理

我们证明，对于 $\mathbb{R}^n$ 上的任意奇异测度 $\mu$，可以用总宽度任意小的 $n$ 族 Lipschitz 板覆盖 $\mu$-几乎每一点。更精确地，在旋转之后，对于每个 $\delta>0$，存在 $n$ 个可数族的 $1$-Lipschitz 函数 $\{f_i^1\}_{i\in\mathbb{N}},\ldots, \{f_i^n\}_{i\in\mathbb{N}},$ $f_i^j:\{x_j=0\}\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$，以及 $n$ 个正实数序列 $\{\varepsilon_i^1\}_{i\in\mathbb{N}},\ldots, \{\varepsilon_i^n\}_{i\in\mathbb{N}}$，使得记 $\hat x_j$ 为点 $x$ 到 $\{x_j=0\}$ 的正交投影，且 $$I_i^j:=\{x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n:f_i^j(\hat x_j)-\varepsilon_i^j< x_j< f_i^j(\hat x_j)+\varepsilon_i^j\},$$ 有 $\sum_{i,j}\varepsilon_i^j\leq \delta$ 且 $\mu(\mathbb{R}^n\setminus\bigcup_{i,j}I_i^j)=0$。我们应用此结果证明，若 $\mu$ 不是绝对连续的，则可用一列光滑等 Lipschitz 映射 $g_h$ 逼近恒等映射，满足 $$\limsup_{h\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}{\rm{det}}(\nabla g_h) d\mu<\mu(\mathbb{R}^n).$$ 由此，我们简单证明了 $\mathbb{R}^n$ 中每个顶层 Ambrosio-Kirchheim 度量流都是 Federer-Fleming 平坦链。