奇异测度下给定雅可比与散度的 Lipschitz 可解性

设 $\mu$ 为开集 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ 上的有限 Radon 测度，相对于 Lebesgue 测度是奇异的。我们证明了关于给定散度方程和给定雅可比方程的 Lusin 类型可解性结果，满足 Lipschitz 解的条件。更具体地，对于每个 $\varepsilon>0$ 和每个 Borel 函数 $f \colon \Omega \to \mathbb{R}$，存在向量场 $V\in C^1_c(\Omega;\mathbb{R}^d)$ 使得 $\operatorname{div} V=f$ 在紧集合 $K\subset\Omega$ 上，其中 $\mu(\Omega\setminus K)<\varepsilon$，且 $\operatorname{Lip}(V)\le (1+\varepsilon)\|f\|_{L^\infty(\Omega,\mu)}$。类似地，对于每个 Borel 函数 $g\colon \Omega \to \mathbb{R}$，存在映射 $\Phi$ 使得 $\Phi-\operatorname{Id}\in C^1_c(\Omega;\mathbb{R}^d)$ 且 $\det D\Phi=g$ 在紧集合 $K\subset\Omega$ 上，其中 $\mu(\Omega\setminus K)<\varepsilon$，且 $\operatorname{Lip}(\Phi-\operatorname{Id})\le (1+\varepsilon)\|g-1\|_{L^\infty(\Omega,\mu)}$。向量场 $V$ 与 $\Phi-\operatorname{Id}$ 可在 supremum 范数下任意小地被选取。