非可分空间上测度的微分与 Radon-Nikodym 定理

给定任意可测空间 $(\Omega, \mathcal F)$ 上的正测度 $\nu,\mu$，我们构造 $(\Omega, \mathcal F)$ 的一列有限划分 $(\pi_n)_n$ 使得 $$\sum_{A\in \pi_n: \mu(A)>0} 1_{A} \frac{\nu(A)}{\mu(A)} \longrightarrow \frac{d\nu^a}{d\mu} \quad \mu \text{ a.e. as } n\to \infty .$$ 作为应用，我们改进了 Radon-Nikodym 定理的概率证明，使其沿适当选取的序列（而非网）收敛，且不依赖鞅收敛定理（也不依赖任何概率论），从而得到完全初等的证明。