无限卷积生成的随机测度的存在性与谱性

本文构建了一类由无限卷积生成的随机测度 $\mu^{\mathbf{n}}$。给定无限多个可接受的配对 $\{(N_{k}, B_{k})\}_{k=1}^{\infty}$ 和一个正整数序列 $\boldsymbol{n}=\{n_{k}\}_{k=1}^{\infty}$，对于每一个 $\boldsymbol{\omega}\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}$，我们写 $\mu^{\mathbf{n}}(\boldsymbol{\omega}) = \delta_{N_{\omega_{1}}^{-n_{1}}B_{\omega_{1}}} * \delta_{N_{\omega_{1}}^{-n_{1}}N_{\omega_{2}}^{-n_{2}}B_{\omega_{2}}} * \cdots$。如果 $n_{k}=1$ for $k\geq 1$，写 $\mu(\boldsymbol{\omega})=\mu^{\mathbf{n}}(\boldsymbol{\omega})$。首先，我们展示如果族 $\{\mu(\boldsymbol{\omega}) : \boldsymbol{\omega} \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\}$ 是紧致的，那么映射 $\mu^{\mathbf{n}}: (\boldsymbol{\omega}, B) \mapsto \mu^{\mathbf{n}}(\boldsymbol{\omega})(B)$ 是随机测度。然后，对于每一个在 $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ 上的伯努利测度 $\mathbb{P}$，随机测度 $\mu^{\mathbf{n}}$ 也是几乎处处的谱测度。如果正整数序列 $\boldsymbol{n}$ 是无界的，那么随机测度 $\mu^{\mathbf{n}}$ 无论 $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ 上的测度如何，都是谱测度。此外，我们提供了随机测度 $\mu^{\boldsymbol{n}}$ 存在性的一些充分条件。最后，我们验证随机测度具有中间值性质。