无限卷积的指数函数正交基

设 $\mu$ 表示由 $\{(N_k,B_k)\}_{k=1}^\infty$ 生成的无限卷积，公式为 $$\mu =\delta_{{N_1}^{-1}B_1}\ast\delta_{(N_1N_2)^{-1}B_2}\ast\dots\ast\delta_{(N_1N_2\cdots N_k)^{-1}B_k} *\cdots.$$ 其中 $B_k$ 是每个整数 $k>0$ 的完备剩余系。我们记 $$\nu_{>k}=\delta_{N_{k+1}^{-1} B_{k+1}} * \delta_{(N_{k+1} N_{k+2})^{-1} B_{k+2}} * \cdots.$$ 由于 $B_k$ 中的元素可能具有很大的绝对值，无限卷积可能不具有紧支撑。本文研究了此类无限卷积为谱测度的必要且充分条件。一般而言，此类无限卷积的谱性主要取决于由完备剩余系生成的多项式的性质。主要结果表明，如果每个 $B_k$ 满足均匀离散零条件，且 $\{\nu_{>k}\}_{k=1}^\infty$ 为{\it tight}，则 $\# B_k | N_k$ 对所有整数 $k\geq 2$ 成立。对于某些特殊的完备剩余系 $\{B_k\}_{k=1}^\infty$，我们提供了 $\mu$ 为谱测度的必要且充分条件。