具有等差数字集的 Cantor-Moran 测度的整数平移与谱性

设 $\left\{b_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}$ 为满足 $|b_{k}|\geq2$ 的整数序列，$\left\{D_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}$ 为等差数字集序列，其中 $D_{k}=\left\{0,1, \cdots, N-1\right\}t_{k},$ $N\geq2$ 为素数且 $\{t_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ 有界。本文研究 Cantor-Moran 测度 $\mu_{\{b_k\},\{D_k\}}$ 的存在性，并证明对所有 $k\in\mathbb{N}^+$，$$\mathbf{D}_k:=D_k\oplus b_{k} D_{k-1}\oplus b_{k}b_{k-1} D_{k-2}\oplus\cdots\oplus b_{k}b_{k-1}\cdots b_2D_{1}$$ 为整数平移当且仅当对所有 $i\neq j\in\mathbb{N}^{+}$ 有 $\mathbf{s}_i\neq\mathbf{s}_j$，其中 $\mathbf{s}_i$ 定义为 $\frac{b_1b_2\cdots b_i}{Nt_i}$ 中因子 $N$ 的个数。此外，我们证明对所有 $k\in\mathbb{N}^+$，$\mathbf{D}_k$ 为整数平移是 Cantor-Moran 测度成为谱测度的必要条件，并提供了一个例子说明其不能成为充分条件。进一步地，在一些附加假设下，我们确立了 Cantor-Moran 测度成为谱测度等价于对所有 $k\in\mathbb{N}^+$，$\mathbf{D}_k$ 为整数平移。