广义 Fuglede 猜想对一类 Cantor-Moran 测度成立

假设 ${\bf b}=\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个大于 1 的整数序列，且 ${\bf D}=\{{\mathcal D}_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个连续数字集序列。设 $\mu_{{\bf b},{\bf D}}$ 为由 \begin{eqnarray*} \mu_{{\bf b},{\bf D}}&=& \delta_{\frac{1}{b_1}{\mathcal D}_{1}}\ast\delta_{\frac{1}{b_1b_2}{\mathcal D}_{2}}\ast \delta_{\frac{1}{b_1b_2b_3}{\mathcal D}_{3}}\ast\cdots. \end{eqnarray*} 定义的 Cantor-Moran 测度。我们证明 $L^2(\mu_{{\bf b},{\bf D}})$ 具有指数正交基当且仅当存在某个 Borel 概率测度 $\nu$ 使得 $\mu_{{\bf b},{\bf D}}\ast\nu={\mathcal L}_{[0,N_1/b_1]}$。该定理表明广义 Fuglede 猜想对此类 Cantor-Moran 测度成立。该结果的一个直接推论是，指数正交基的存在性与 $n\geq1$ 时 ${\bf D}_n={\mathcal D}_{n}+b_n{\mathcal D}_{n-1}+b_2\cdots b_n{\mathcal D}_{1}$ 的积分铺砌等价。