无共振的Cantor测度卷积

记$\mu_a$为随机和$(1-a) \sum_{j=0}^\infty \omega_j a^j$的分布，其中$P(\omega_j=0)=P(\omega_j=1)=1/2$且所有选择独立。对于$0<a<1/2$，测度$\mu_a$支撑在$C_a$上，$C_a$是通过从闭单位区间出发，移除长度为$(1-2a)$的开中心区间，并在每个剩余区间上归纳重复此过程得到的中心Cantor集。我们研究卷积$\mu_a * (\mu_b \circ S_\lambda^{-1})$，其中$S_\lambda(x)=\lambda x$是重缩放映射。我们证明，若比值$\log b/\log a$是无理数且$\lambda\neq 0$，则$$D(\mu_a *(\mu_b\circ S_\lambda^{-1})) = \min(\dim_H(C_a)+\dim_H(C_b),1),$$ 其中$D$表示测度的任意一种维数：关联维数、Hausdorff维数或填充维数。我们还证明，或许令人惊讶的是，对于不可数多个$\lambda$值，卷积$\mu_{1/4} *(\mu_{1/3}\circ S_\lambda^{-1})$是奇异测度，尽管$\dim_H(C_{1/4})+\dim_H(C_{1/3})>1$且$\log (1/3) /\log (1/4)$是无理数。