Cantor 集之间的共振

设 $C_a$ 为从单位区间中移除长度为 $1-2a$ 的中心区间，并在剩余的两个区间上归纳地继续此过程所得到的中心 Cantor 集。我们证明，若 $\log b/\log a$ 为无理数，则 $$\dim(C_a+C_b) = \min(\dim(C_a) + \dim(C_b),1),$$ 其中 $\dim$ 为 Hausdorff 维数。更一般地，给定 $\RR$ 中的两个自相似集 $K,K'$ 及缩放参数 $s>0$，若算术和 $K+sK'$ 的维数严格小于 $\dim(K)+\dim(K') \le 1$（“几何共振”），则存在 $r<1$ 使得定义 $K$ 与 $K'$ 的相似变换的所有收缩比均为 $r$ 的幂（“代数共振”）。我们的方法还对由包含缩放无理旋转的迭代函数系统生成的平面自相似集的投影给出了一个新结果。